Matlis Duality

释义 Definition

Matlis 对偶性（Matlis Duality）是交换代数中的一个重要对偶理论：在诺特局部环 \((R,\mathfrak m)\) 上，利用其注入包（通常取剩余域 \(k=R/\mathfrak m\) 的注入包 \(E=E_R(k)\)）定义函子
\[ D(-)=\mathrm{Hom}_R(-,E), \] 从而在某些模的类别中建立一种“对偶对应”。典型结论是：在适当条件下，有限生成模与Artinian 模之间通过 \(D\) 形成对偶关系，并且常见地有自然同构 \(M \cong D(D(M))\)（在相应类别中）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈmætliːs duːˈælɪti/

词源 Etymology

“Matlis”来自美国数学家 Eben Matlis 的姓氏；他在 1950s–1960s 的工作中系统建立了局部环上注入模的结构理论，并由此发展出这种以注入包为核心的对偶工具。“duality”源自拉丁语 dualis（“二、双”），在数学中指将对象与其“对偶对象”对应起来的思想。

例句 Examples

Matlis duality relates finitely generated modules to Artinian modules over a Noetherian local ring.
Matlis 对偶性把诺特局部环上的有限生成模与 Artinian 模联系起来。

Using Matlis duality, one can translate questions about local cohomology into statements about Hom-modules into an injective hull.
借助 Matlis 对偶性，可以把关于局部上同调的问题转化为关于到某个注入包的 Hom-模的陈述。

相关词 Related Words

• Artinian
• Noetherian
• Local Ring
• Injective Hull
• Injective Module
• Local Cohomology
• Duality
• Hom Functor

文学作品与著作 Literary Works

• Eben Matlis, Injective Modules over Noetherian Rings（经典论文，奠定 Matlis 对偶相关理论框架）
• Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory（交换环论教材中常讨论 Matlis 对偶及其应用）
• Winfried Bruns & Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay Rings（在 Cohen–Macaulay 理论、局部上同调与对偶性部分使用/提及 Matlis 对偶）
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（教材中在局部理论与对偶工具处涉及相关思想）
• M. P. Brodmann & R. Y. Sharp, Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications（系统使用 Matlis 对偶处理局部上同调）